“范例卷积神经网络”概述

从一个未经标记的数据库中取出适量有趣的图像，把这些图像称为“种子图像”或者是“范例”。你需要对每一个图像进行各种各样的转换，你可以更改“种子图像”的颜色，或者把它旋转至不同的方向。而这些转换后的图像集合就是一个“代理图像集”。下图就是对一只鹿的“种子图像”进行各种转换之后得到的图像集：

每一张范例图像都需要经过转换，形成一个“代理图像集”。所以，你有多少张“种子图像”，就会有多少个“代理图像集”。完成以后，你就可以开始一个卷积网络的训练了。你需要让它通过一张转换后的图像，推测其“种子图像”的各项指数。所以，如果你有8000个“种子图像”，你就需要解决8000个图像分类的问题。那么相应地，你的卷积网络也就具备了8000维度的分类功能。

当然了，“种子图像”数量越多，网络训练的难度就越大，到最后网络掌握的分类功能的维度也就越高。论文的作者们表示，8000个“种子图像”尚在网络分类功能可处理的范围之内，而且这8000个图像的训练就已足够让我们达到比较理想的效果了。

下面我想补充的是——我们在“范例卷积神经网络”中建立的“马尔科夫链”的图像模型视图。

变分信息最大化的视图

“信息最大化”能够根据信息测量变量的不同，采取不同的方式来进行表征学习。为了进一步了解“范例卷积神经网络”，我们来看下图的“马尔科夫链”：

上图中的X表示“种子图像”，T_αx表示转换后的图像（随机抽样变换参数α），Z=g(T_αx；Θ)表示采用了随机图像并计算了其表征的一个映射。所以，从T_αx到的Z箭头事实上是一个确定性映射。

如果我们把z看作是x的表征，那么实现“互信息”║[X,Z]的最大化就是有意义的。这个“互信息”有一个下界，这个下界就是标准的“变分下限”。

如果我们的变分集Q涵盖了真实情境Px∣z，那么这一下界就是确定的。

“范例卷积神经网络”的特别之处就在于，它利用了“分布Px实际上是N观测值的一个经验分布”这一事实。这是当我们推导一个损失函数时，通常被我们否定的一种情况，只有在最后才能代替经验分布，构造一个无偏估计值。这里，我们很大程度上是依靠这样一个事实——我们只有N观测值，而且N与数据维度D相比较小。用N来模拟离散分布，比模拟图像分布要简单得多。

如果我们有N的“种子图像”X_n，那么我们就可以勉强用X来表示下面的经验分布：

假如Z的分布被稍稍地离散了，那么赋予Z的情境也会被离散，只是离散的比例不同。

因此，在这种情况下，一个仅根据不同比例离散分布的变分集合Q就变得非常必要了：

上面公式中，W代表的是q的参数，π_n(Z,W)表示形成了一个有效的离散概率分布。这样才会使得。如果我们让离散比例π_n(Z,W)灵活地任意变化，变分集合Q就能意识到其后部内容，而我们对“互信息”的限制就会比较严格。使用上面对qΘ的定义，我们可以把下界表达为：

从x可以得到其表征z，使用其中的原理，我们可以依据转换参数α的期望值，写出以下表达式：

表达式左边的部分看上去很像是“范例卷积神经网络”学习的“N式”分类问题：我们可以把其中的π_n看作是“N式”的分类器，这个分类器需要一张任意转换过的图像，然后估测出“代理集合”n。上面的方程式事实上是这个分类器的“损失函数”。

为获得真正的“范例卷积神经网络”方程式，我们需要做的最后一件事是进一步限制Q。因此，我们只能让离散比例π符合以下的逻辑回归式：

如果我们把这些值重新代入之前得出的方程式，那么我们就会得到论文中提到的“多项损失函数”（与论文中的方程式5相对比）：

因此，我们已经证明了“范例卷积神经网络”进行优化的目标函数，实际上是限制“种子图像”和转换后图像的表征g(T_αx)间的“互信息”的一个下界。

这个“互信息”下界的限制有多严格？

“互信息”的下界限制其实可能并不是那么的严格，因为π(z,Θ)仅受限于线性分类器。但是如果我们决心严格限制互信息，那么这个下界是完全可能更加严格的。确实，如果我们不考虑最后一层g，而是把一些中间的隐藏层视作表征，把上面的一些层视作是q的一部分，那么这个所谓的下界限制就仍然是有效的，而且中间层的限制就会更严格。

那些非宽松的界限并不一定就是故障所在，相反，它可能还是一个特色。仅考虑q的逻辑回归模型，实际上是一个比信息优化更严格的目标函数。就像我之前经常提到的，“互信息”本身对表征的可逆再参量化并不敏感，因此它不能够自己找到已还原了的表征。所以，仅考虑下界的问题可能更适用于这个案例。你不仅需要用z来保留关于x的信息，还需要一个线性可辨性的格式，如果你之后想要把表征用于线性分类器的话，那么这个线性可辨性就是一个相当有用的属性。

到底什么东西才能被用作表征？

最后，一个这样的问题出现了——到底什么样的函数或映射应该被用作表征呢？关于这个问题，你有三个选项：

作者是把g(x,Θ)的层用作表征本身的。这在我看来是有些难以理解的，因为这个函数从未经过一个真实图像补丁的训练，它只受过转换过的图像补丁T_αx的训练。我认为作者这一做法的原因是，尽管受到种子补丁的训练较少，但是这个函数已经经过大量转换过的图像的训练，所以它是完全有能力成为表征的。作者还提出，最后一层最终将会被训练得越来越不容易受转换图像的影响。
你可以使用一个随机表征g(T_αx,Θ)，但是过不久这个表征就会显得很累赘，不好处理。因为你必须每次都抽样检查α，对它进行评估，并且整合α上面建立的所有表征。
你可以使用的方法。如果g是转换图像的不变量，那么它就能表示成。实际上，如果g不是转换图像的不变量，那可能更有可能是不变的。

最后，就像我在前面说的，你可以把g的中间层当作表征，而不是最后一层。你还是可以训练那些中间层，让他们实现信息最大化，事实上那些中间层的界限还更严格一些。其实作者也是这样做的：他们集合了各个层的特征，然后考虑了所有中间层之上的一个线性SVM。

总结

“范例卷积神经网络”是“自监督学习”的一个绝佳例子。采用一个未经标记的数据库，并在此之上建立一个代理的监督式学习任务来帮助表征学习。像我在本文中说的，“范例卷积神经网络”还能被理解为——寻找一个信息最大化的表征。

相对简单的用于变分界限的变分分布可能是个非常有益的东西，而设立严格的界限可能反而会让事情变得更糟。谁知道呢？但是在这个框架内建立“范例卷积神经网络”，确实让我们更好地理解了其工作原理。